A sequência x, y, z é uma progressão geométrica onde x + y = 1 e y + z = 9. Vamos resolver essa questão passo a passo.Primeiramente, vamos definir o que é uma progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada razão. Vamos denotar a razão por r.Dado que x, y e z formam uma progressão geométrica, podemos escrever:y = x rz = y r = x r^2Agora, temos as seguintes equações:1. x + y = 12. y + z = 9Substituindo y e z em termos de x e r, obtemos:1. x + x r = 12. x r + x r^2 = 9Da primeira equação, podemos isolar y:y = 1 – xSubstituindo y na segunda equação:1 – x + x r^2 = 9Agora, temos duas equações com duas incógnitas (x e r):1. x + x r = 12. 1 – x + x r^2 = 9Vamos resolver a primeira equação para x:x (1 + r) = 1x = 1 / (1 + r)Substituindo x na segunda equação:1 – 1 / (1 + r) + (1 / (1 + r)) r^2 = 9Multiplicando todos os termos por (1 + r) para eliminar o denominador:1 + r – 1 + r^2 = 9 (1 + r)r^2 + r – 9 r – 9 = 0r^2 – 8 r – 9 = 0Agora, resolvemos a equação quadrática para r:r = (8 ± sqrt(64 + 36)) / 2r = (8 ± 10) / 2Temos duas soluções para r:r1 = 18 / 2 = 9r2 = -2 / 2 = -1Vamos verificar qual dessas razões é válida. Se r = 9, então:x = 1 / (1 + 9) = 1 / 10y = x r = 1 / 10 9 = 9 / 10z = y r = 9 / 10 9 = 81 / 10Mas y + z = 9 / 10 + 81 / 10 = 90 / 10 = 9, o que satisfaz a segunda equação.Se r = -1, então:x = 1 / (1 – 1), que não é definido.Portanto, a razão válida é r = 9. Substituindo r na equação para x:x = 1 / (1 + 9) = 1 / 10y = x r = 1 / 10 9 = 9 / 10z = y r = 9 / 10 9 = 81 / 10Assim, a sequência x, y, z é 1/10, 9/10, 81/10.
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